統計用語 Q&A広場

Synthetic Control Method (合成コントロール法) の統計学的基盤：理論、実践、そして応用課題

Tags: 合成コントロール法, 因果推論, 政策評価, 時系列分析, 統計モデリング

「統計用語 Q&A広場」へようこそ。本稿では、特に政策評価や比較研究などにおいて、単一の介入対象（例えば、ある州や国）に対する政策効果を推定する強力な手法として近年注目を集めているSynthetic Control Method (合成コントロール法) について、その統計学的基盤、実践上の留意点、および応用における課題に焦点を当てて議論します。

Synthetic Control Method とは

Synthetic Control Method (SCM) は、Abadie, Diamond, and Hainmueller (2010, 2015) らによって提案された、因果効果推定のためのノンパラメトリックな手法です。標準的な差の差分法（Difference-in-Differences, DiD）などが複数の介入対象やコントロール対象を必要とするのに対し、SCMは単一の介入対象に対して、介入がなかった場合の反実仮想（counterfactual）のアウトカム軌跡を、複数の非介入対象（コントロール群）のアウトカムの線形結合によって「合成」し、これと比較することで因果効果を推定します。

この手法が特に有用なのは、大規模な政策変更やイベントなど、ランダム化比較試験（RCT）の実施が困難であり、かつ比較可能なコントロール対象が複数存在するものの、単一のコントロール対象だけでは介入対象の反実仮想を適切に表現できないような状況です。SCMは、介入前の期間において介入対象のアウトカム軌跡を最もよく再現するようにコントロール対象に重みを割り当てることで、介入後の反実仮想を構築します。

理論的基盤

SCMの理論的基盤は、潜在的成果（Potential Outcomes）フレームワーク（Neyman-Rubin Model）に基づいています。ある時点 $t=T_0$ でユニット $i$ に介入が行われたとします。各ユニット $i$ ($i=1, \dots, N$) に対して、各時点 $t$ ($t=1, \dots, T$) での潜在的成果 $Y_{it}(1)$ (介入を受けた場合) と $Y_{it}(0)$ (介入を受けなかった場合) が存在すると考えます。介入対象（例えばユニット1）のアウトカム $Y_{1t}$ は、介入前 ($t \le T_0$) は $Y_{1t}(0)$、介入後 ($t > T_0$) は $Y_{1t}(1)$ と観測されます。SCMの目的は、介入後の期間における $Y_{1t}(0)$ を推定することです。

SCMでは、介入対象以外の非介入ユニット $i=2, \dots, N$ をコントロール群とします。これらのユニットのアウトカムは、全ての時点 $t$ で $Y_{it}(0)$ と観測されます。SCMの基本的なアイデアは、介入対象ユニット1の介入がなかった場合の反実仮想 $Y_{1t}(0)$ を、コントロール群ユニット $i=2, \dots, N$ のアウトカムの凸結合（重み $w_i \ge 0$, $\sum_{i=2}^N w_i = 1$) で近似することです。

$$ Y_{1t}(0) \approx \sum_{i=2}^N w_i Y_{it}(0) \quad \text{for } t > T_0 $$

この重みベクトル $w = (w_2, \dots, w_N)'$ は、介入前期間のアウトカムおよび場合によっては共変量において、合成されたコントロールのアウトカムが介入対象のアウトカムを最もよく近似するように選択されます。具体的には、介入前のアウトカムベクトル $Y_1^{pre} = (Y_{1,1}, \dots, Y_{1, T_0})'$ と、コントロール群のアウトカム行列 $Y_{ctrl}^{pre}$ （列がユニット、行が時点）が与えられたとき、以下の最適化問題を解いて重み $w$ を求めます。

$$ \min_{w_2, \dots, w_N} \|Y_1^{pre} - Y_{ctrl}^{pre} w\|^2 \quad \text{subject to } w_i \ge 0, \sum_{i=2}^N w_i = 1 $$

この最適化により得られた重み $w^$ を用いて、介入後の反実仮想アウトカムを $\hat{Y}{1t}(0) = \sum{i=2}^N w_i^ Y_{it}(0)$ と推定します。介入効果の推定値は、各時点 $t > T_0$ において $\hat{\tau}{1t} = Y{1t}(1) - \hat{Y}{1t}(0) = Y{1t} - \hat{Y}_{1t}(0)$ となります。

SCMの理論的な強みは、並行トレンド仮定のような強い仮定を必要とせず、時間変動する交絡因子が存在する場合でも適切に機能しうる点にあります。ただし、この妥当性は、介入前期間が十分に長く、コントロール群に多様性があり、合成コントロールが介入前のアウトカム軌跡を非常によく近似できるという条件に依存します。

実践的側面

SCMを実データに適用する際には、いくつかの実践的なステップと留意点があります。

  1. コントロール群の選択: どのようなユニットをコントロール群に含めるかが重要です。介入対象と類似した特徴を持ち、介入の影響を受けない（スピルオーバー効果がない）ユニットを選択する必要があります。データ分析の専門家は、ドメイン知識に基づいて適切なコントロール群候補を特定します。
  2. データの準備: 介入対象およびコントロール群のユニットについて、介入前後のアウトカムデータと、必要に応じて共変量データを時系列で準備します。介入前期間は、合成コントロールが介入前のアウトカム軌跡を適切に近似できるよう、十分に長い期間が必要です。
  3. 重みの計算: 介入前のアウトカム軌跡を近似する重みを計算します。これは凸最適化問題として解くことができ、標準的な統計ソフトウェアパッケージ（例えば、RやPythonの Synth や PySynth ライブラリなど）で容易に実行できます。
  4. 合成コントロールの構築: 計算された重みを用いて、コントロール群のアウトカムの線形結合により合成コントロールのアウトカム軌跡を構築します。
  5. 効果の推定: 介入後の各時点において、介入対象の実際のアウトカムから合成コントロールのアウトカムを差し引くことで、介入効果の推定値を得ます。結果を可視化するために、介入対象の実際の軌跡と合成コントロールの軌跡をグラフに示すことが一般的です（図1に示すようなプロット）。
  6. 推論（統計的有意性の評価）: 推定された効果の統計的有意性を評価するには、標準的な漸近理論に基づく推論は適用が難しいため、多くの場合、順列検定 (Permutation tests) が用いられます。これは、コントロール群の中からランダムにユニットを選んで「仮想的な介入対象」とし、それに対するSCMを適用して得られる効果の分布を生成し、実際の介入対象に対する効果がその分布の中でどの位置にあるかを評価する方法です。これにより、偶然による効果の大きさを評価し、統計的有意性を判断します。代替として、単位レベルのブートストラップなどの方法も検討されることがあります。

応用上の課題と議論点

SCMは強力な手法ですが、応用においてはいくつかの課題や議論点が存在します。

教育上のポイント

大学の講義などでSCMを説明する際には、その直感的なアイデア（介入前のアウトカムを真似ることで反実仮想を作る）から導入し、図を用いた可視化の重要性を強調すると学生の理解が進みやすいでしょう。また、DiDのようなより簡単な手法との比較を通じて、SCMがどのような状況で優位性を持つのか（特に並行トレンド仮定の緩和）を明確に説明することが有効です。同時に、データ要件や推論の難しさなど、実践上の課題についても正直に伝えることで、手法の適用範囲と限界を適切に理解させることが重要です。順列検定については、具体的な計算手順やロジックを丁寧に解説する必要があります。

まとめと展望

Synthetic Control Methodは、単一介入対象の因果効果推定という、多くの社会科学や政策研究で直面する重要な問題に対する強力なツールを提供します。介入前のデータを用いて反実仮想をデータ駆動的に構築するというアプローチは非常に魅力的です。しかし、その適用にあたっては、適切なコントロール群の選択、十分なデータ、そして推定結果の解釈と推論方法について慎重な検討が必要です。

現在も、SCMの理論的性質のさらなる解明、ロバスト性の向上、複数の介入や時間変動する介入への拡張、他の因果推論手法との組み合わせなど、多くの研究が進められています。統計学の専門家としては、これらの最新の研究動向を追いつつ、自身の研究課題に対してSCMが適切か、どのような課題があるかを深く検討することが求められます。

この手法に関する疑問や、ご自身の研究での応用例、あるいは教育上の工夫など、専門家の皆様からの活発な議論を期待しております。